- число, выражаемое рациональной дробью. Формальная теория Р. ч. строится с помощью пар целых чисел. Р а ц и о н а л ь н о й д р о б ь ю наз. упорядоченная пара ( а, b )целых чисел а и b, у к-рой b№0. Две рациональные дроби и наз. э к в и в а л е н т н ы м и (р а в н ы м и) тогда и только тогда, когда ad=bc. Это соотношение эквивалентности, будучи рефлексивно, симметрично и транзитивно, разбивает множество всех рациональных дробей на классы эквивалентности. Р а ц и он а л ь н ы м ч и с л о м наз. каждый класс эквивалентности рациональных дробей. Разные классы определяют разные Р. ч. Множество Р. ч. счетно. Р. ч., содержащее рациональную дробь вида , наз. н у л е м. Если r есть Р. ч. и , то Р. ч., содержащее рациональную дробь , наз. рациональным числом, противоположным Р. ч. r, и обозначается через - r. Р. ч. r наз. п о л о ж и т е л ь н ы м (о т р и ц а т е л ьн ы м), если оно содержит рациональную дробь , у к-рой аи dодного знака (разных знаков). Если Р. ч. положительно (отрицательно), то противоположное ему число отрицательно (положительно). В множестве Р. ч. вводится упорядоченность: всякое отрицательное Р. ч. считается меньшим всякого положительного, положительное Р.ч. r' считается меньшим положительного Р. ч. , если существуют такие рациональные дроби , что ad
Суммой рациональных дробей и наз. рациональная дробь , а произведением . С у мм о й и п р о и з в е д е н и е м Р. ч. r' и r" наз. классы эквивалентных рациональных дробей, содержащие соответственно сумму или произведение рациональных дробей и , принадлежащих r' и r":
.
Упорядоченность, сумма и произведение Р. ч. r' и r" не зависят от выбора представителей в соответствующих классах эквивалентности и , т. е. однозначно определяются самими Р. ч. r' и r". Р. ч. образуют упорядоченное поле, обозначаемое ;
Для обозначения Р. ч. rприменяются рациональные дроби ия класса эквивалентности, задающего это число:
. Таким образом, одно и то же Р. ч. может быть записано разными, но эквивалентными рациональными дробями.
Если каждому Р. ч., содержащему рациональную дробь вида , поставить в соответствие целое число а, то получится изоморфное отображение множества указанных Р. ч. на кольцо целых чисел. Поэтому
Р. ч., содержащие рациональные дроби вида , обозначают через а.
Всякая функция вида
(1)
является метрикой в поле Р. ч. , то есть удовлетворяет условиям:
при любых и . Поле Р. ч. не является полным в метрике (1). Пополнением поля Р. ч. по метрике (1) является поле действительных чисел. Функция
(2) где р - простое число, r-Р. ч., представимое в виде
( - целое, - несократимая рациональная дробь, причем числа аи bне делятся на p), а r - фиксированное число, 0
В десятичной записи Р. ч. и только они представимы периодическими десятичными дробями.
Лит.:[1] Б о р е в и ч 3. И., III а ф а р е в и ч И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] II и з о Ш., 3 а м а н с к и й М., Курс математики. Алгебра и анализ, пер. с франц., М., 1971.
Л. Д. Кудрявцев.
Смотреть больше слов в «Математической энциклопедии»
число, которое может быть представлено в виде дроби m и n — целые числа (n ≠ 0). Т. к. целое число m можно представить в виде Поле алгебраическ... смотреть
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛO, число, к-рое может быть представлено в виде дроби m/n, где т и п - целые числа (п не равно 0). Т. к. целое число т можно пред... смотреть
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО (rational number) Число, которое может быть представлено отношением двух целых чисел, т.е. 1,5=3/2. Многие из широко используемых... смотреть
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО, см. число РАЦИОНАЛЬНОЕ.
число вида т/п, где т и п - целые числа и п не равно 0.
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО, число вида m/n, где m и n - целые числа и n ? 0.
РАЦИОНАЛЬНОЕ число - число вида m/n, где m и n - целые числа и n ? 0.
numero razionale
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО , число вида m/n, где m и n - целые числа и n ? 0.
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО, число вида m/n, где m и n - целые числа и n ? 0.
Rationalzahl, rationale Zahl
- число вида m/n, где m и n - целые числа и n ? 0.
nombre rationnel
numero racional
rational number
rational number
rational number
rational number
rational number, rational
раціона́льне число́
racionāls skaitlis
rational number
рацыянальны лік